核心與形象：線性代數第 2 部分

線性變換的核和圖像是線性代數中線性變換主題的關鍵方面之一。事實上，我們已經在我們討論的線性代數系列文章的第 1 部分中討論了線性變換的主題。然而，在第一篇文章中，我們只對展示變換的線性性感興趣，而放棄了其他基本面向。 從這個意義上說，我們現在將深入研究線性變換主題中感興趣的第二個面向：變換的核心和圖像。事實上，我們MeuGuru在本文中將為您帶來一些有關變換的核心和圖像的理論，以及一些實用且簡單的範例，這些範例將向您展示如何繼續確定這兩個集合。 線性變換的核心與形象 線性變換的核心和範圍是與線性變換T相關的兩個非空集合。事實上，這些集合實際上是向量子空間，它們與線性變換T可以給我們的輸出直接相關。因此，確定變革的核心或形象，本質上就是有效地理解我們的變革能為我們帶來什麼。 現在，為了更精確，我們將描述每個子空間。 轉型的核心 那麼，讓我們定義一下轉換的核心。事實上，變換 T 的核心（我們用 null(T) 表示）是向量 v 的集合，使得 Tv = 0，其中 0 表示零向量。因此，簡而言之，核將由導致線性變換到零向量的所有向量組成。





此外，線性變換的核還有另一個名字，那就是核（英語為nucleus），在一些線性代數教材中以巴西化的方式使用。 此外，從這個定義可以明顯看出，T 的核（我們用 Ker(T) 表示）是一個向量空間。事實上，只要看到零向量必然在 Ker(T) 中就足夠了，並且透過線性，給定 Ker(T) 中的兩個向量 u 和 v 以及來自關聯字段的標量 p，我們有 T(u+ kv) = T(u) + kT(v) = 0 這表示u+v 在Ker(T) 中，即使kv 也在Ker(T) 中，也只需將u 作為零向量。 此外，還有一個與轉型核心相 美國電話號碼 關的重要概念：無效性。實際上，無效性與線性變換的核的大小相關。也就是說，T 的無效性等於向量 v 產生的向量空間的維數，使得 Tv = 0，即 T 的無效性，我們用 null(T) 表示，為 null (T) =尺寸（Ker（T） ）。特別是，這個概念將非常重要，因為它基於它可以定義一個重要的定理：核和圖像定理。 轉型的形象 另一方面，如果 Ker(T) 由使線性變換趨於零向量的向量組成，則 T 的圖像正好相反。也就是說，T 的圖像（我們用 Im(T) 表示）是由線性變換產生的向量 v 的集合。因此，確定線性變換的圖像使我們能夠了解 T 生成哪個向量子空間。 這樣，T的圖像使我們能夠更好地理解變換T的幾何和代數方面。此外，很明顯，這個集合是一個向量空間，也是變換的核心，證明是類似的（如何關於嘗試做gurunauta 嗎？我認為這是一個很棒的練習=) )。







此外，這裡還有一個類似無效的量，稱為等級。實際上，線性變換 T 的秩正是構成 T 產生的空間的基礎的向量的數量。因此，我們有秩(T) = 維度(T 的圖像)，這個定義也很有用描述核和圖像定理。 變換的核心與影像的應用 線性變換的核和圖像在線性代數以及數學和科學的其他領域有幾個重要的應用。以下是一些主要應用： 線性方程組：線性變換的核心與齊次線性方程組的解直接相關。也就是說，當系統只依賴與其未知數相關的值時，換句話說，齊次系統是所有常數項都等於零的系統。因此，與齊次系統相關的線性變換的無效性等於系統的獨立解的數量。 矩陣的對角化：矩陣的對角化涉及尋找特徵向量的基，特徵向量位於矩陣的核減去單位矩陣乘以標量。此外，該過程經常出現在線性動態系統、量子力學和電氣網路分析等多個領域。 微分方程式和積分變換：變換的核心也表現為與齊次 ODE 相關的解集，並且變換的圖像允許描述與積分變換（例如拉普拉斯或傅立葉）相關的向量集。 核與象定理 很明顯，核和影像的概念緊密相連，因為它們透過 T 變換分別將向量與零向量和非零向量集關聯起來。因此，必須想像這兩個概念是緊密相連的。事實上，它們是，負責這一點的數學實體稱為：核心和圖像定理，它實際上將核心和圖像空間的維度與變換 T 的維度相關聯v